3/21/2020

宇宙の形状はどうなっているのか?

Quanta Magazineより

私たちの目には、宇宙は永遠に続いているように見えます。しかし、幾何学を使用すると、「通常の」無限空間の代替となる様々な3次元形状を探索できます。

夜空を眺めると、空間はあらゆる方向に永遠に広がっているように見えます。これが私たちの宇宙に対するメンタルモデルですが、必ずしも正しいとは限りません。結局のところ、誰もが地球が平らであると考える時代がありました。なぜなら、私たちの惑星の曲率は微妙すぎて検出できず、球形の地球が理解し難いからです

今日、私たちは地球が球体のような形をしていることを知っています。しかし、私たちのほとんどは、宇宙の形についてほとんど考えません。球体が平らな地球に代わるものを提供したように、他の3次元形状は「通常の」無限空間に代わるものを提供します。

宇宙の形状について、相互に関連する2つの質問をすることができます。1つは、幾何学に関するものです。角度や面積などの細かく局所的な測定値です。もう1つは、トポロジに関するものです。それは、これらの局所要素がどのように統合されて包括的な形状になるかです。

宇宙論的証拠は、私たちが見ることができる宇宙の部分が、少なくともおよそ、滑らかで均質であることを示唆しています。空間の局所的基礎構造は、すべてのポイントおよびすべての方向でほぼ同じに見えます。この説明に適合する形状は、平面、球面、双曲面の3つだけです。これらの形状、トポロジの考慮事項、そしてどの形状が私たちの宇宙を最もよく表しているかについての宇宙論的証拠が何を示しているかを探りましょう。

平坦形状

これは、学校で学んだ幾何学です。三角形の角度は合計で180度になり、円の面積はπr2です。 平らな3次元形状の最も単純な例は、通常の無限空間——数学者がユークリッド空間と呼ぶもの——ですが、考慮すべき他の平坦な形状もあります。

これらの形状を視覚化することは困難ですが、3次元ではなく2次元で考えることで直感を構築できます。通常のユークリッド平面に加えて、平面の一部を切り取り、そのエッジをテーピングすることにより、他の平面形状を作成できます。例えば、長方形の紙を切り取り、その両端をテープで留めるとします。 端と下端をテーピングすると、円筒(cylinder)が得られます。

次に、右端と左端をテープ処理するとドーナツ(数学者がトーラスと呼ぶもの)が得られます。

今、あなたは「これは私には平坦に見えない」と考えるかもしれません。そして、あなたは正しいです。平坦トーラスがどのように機能するかを説明する際に、私たちは少しごまかしました。この方法で実際に紙からトーラスを作ろうとすると、困難に直面します。円筒の作成は簡単ですが、円筒の端をテーピングしてもうまくいきません。紙はトーラスの内側の円に沿ってくしゃくしゃになり、外側の円に沿って十分に伸びません。紙の代わりに伸縮性のある素材を使用する必要があります。しかし、この引き伸ばしは長さと角度を歪め、形状を変更します。

通常の3次元空間内では、平らな形状を歪めずに、平らな素材から実際の滑らかな物理的トーラスを構築する方法はありません。しかし、平坦トーラス内に住むことがどんな感じかについて抽象的に推論することができます。

あなたが宇宙が平坦トーラスである二次元の生き物だと想像して下さい。この宇宙の形状は平らな紙片に由来しているため、これまで使用されてきた幾何学上の事実はすべて、三角形の角度は合計で180度など、少なくとも小規模では通常と同じです。しかし、切り取りとテーピングによってグローバルトポロジに加えた変更は、トーラスでの生活の経験が以前とはまったく異なるように感じることを意味します。

手始めに、トーラス上で周って開始した場所に戻る直線経路があります。

これらの経路は、歪んだトーラス上では曲がっているように見えますが、平坦トーラスの住民にとってはまっすぐに感じます。また、光はまっすぐな道を進むため、これらの方向の1つを真正面から見ると、後ろから自分が見えます。

オリジナルの紙切れの上では、まるであなたが見る光が後ろから左端に到達するまで伝わり、まるでビデオゲームにいるかのように右に現れます。

これを考えるための同等の方法は、あなた(または光線)が4つのエッジの1つを移動すると、新しい「部屋」のように見えますが、実際には新しい部屋から見た同じ部屋で、新しい視点から見たところです。この宇宙をさまよいながら、元の部屋のコピーの無限の配列に交差することができます。

つまり、様々な方向を見ると、自分の様々なコピーを無限に見ることができます。それは一種の鏡のような効果ですが、あなたのコピーは反射ではありません。

ドーナツでは、これらは、光があなたからあなたに戻ることができる多くの様々なループに対応しています。

同様に、立方体または他のボックスの反対側の面を接着することにより、平坦な3次元トーラスを構築できます。この空間を通常の無限空間内のオブジェクトとして視覚化することはできませんが——単にフィットしない——、内部の生命について抽象的に推論することはできます。

2次元トーラスでの生活が同じ長方形の部屋の無限の2次元配列に住んでいるように、3次元トーラスでの生活は同じ立方体の部屋の無限の3次元配列に住んでいるようです。 自分のコピーが無限に表示されます:

3次元トーラスは、10の異なる平面有限世界の1つに過ぎません。無限円柱の3次元類似体など、平坦な無限世界もあります。これらの世界のそれぞれで、体験できる様々な鏡の間の配列があります。

私たちの宇宙はこれらの他の平坦な形の一つですか?

宇宙を見渡せば、無限に多くの自分のコピーを見ることはありません。それでも、これらの平坦な形状を除外することは驚くほど難しいです。ひとつには、それらはすべてユークリッド空間と同じ局所形状を持っているため、局所測定ではそれらを区別できません。

そして、あなたが自分のコピーを見た場合、その遠方の画像は、あなた(またはあなたの銀河など)が遠い過去をどのように見ていたかを示します。多分私たちはそこに自分の認識できないコピーを見ています。さらにもっと悪いことに、自分の様々なコピーは通常、あなたからの距離が異なるため、それらのほとんどは互いに同じようには見えません。そして、とにかく見るには遠すぎます。

これらの困難を回避するために、天文学者は通常、自分自身のコピーを探すのではなく、見ることができる最も遠いものの特徴を再現します。それが、ビッグバンの直後から残った宇宙マイクロ波背景(CMB)放射です。実際には、これはホットスポットとコールドスポットのパターンが一致するCMB内の円のペアを検索することを意味し、2つの異なる方向から見た実際に同じ円であることを示唆します。

2015年、天文学者はプランク宇宙望遠鏡のデータを使用して、まさにそのような検索を実行しました。彼らは、平らな3次元トーラスまたはスラブと呼ばれる他の平らな3次元形状の内側に表示されると予想される種類の一致する円のデータを徹底的に調査しましたが、それらを見つけることができませんでした。つまり、トーラスに住んでいるとしたら、おそらく非常に大きなものであり、繰り返しのパターンは観測可能な宇宙の向こう側にあるということです。

球面形状

私たちは皆、2次元の球体、つまりボールの表面、オレンジ、または地球に精通しています。しかし、私たちの宇宙が3次元の球体であるとはどういう意味でしょうか?

3次元の球体を視覚化することは困難ですが、簡単な例えで簡単に定義できます。2次元の球体が、通常の3次元空間の中心点から一定の距離にあるすべての点の集合であるように、3次元球(または「3次元球面」)は、4次元空間の中心点から一定の距離にあるすべての点の集合です。

3次元球面での生活は、平坦な空間での生活とは非常に異なると感じています。それを感じるために、あなたが2次元の球体に住んでいる2次元であると想像して下さい。2次元の球体は宇宙全体です。周囲の3次元空間は表示もアクセスもできません。この球状の宇宙内では、光は可能な限り最短の経路、すなわち大円に沿って移動します。あなたにとって、これらの大円は直線のように感じます。

あなたとあなたの2次元の友人が北極でぶらぶらしていて、あなたの友人が散歩に行くと想像して下さい。友だちが散歩すると、最初は普通の世界と同じように、視覚円で小さくなります(ただし、以前ほど速く収縮することはありません)。それは、視覚円が大きくなるにつれて、友人が占める割合が少なくなるためです。

しかし、あなたの友人が赤道を通り過ぎると、奇妙なことが起こります。彼らはあなたから遠く離れるほど大きく見え始めます。それは、彼らがあなたの視覚円に占める割合が増えているからです。

友達が南極から10フィート離れているとき、彼らはあなたから10フィート離れているときと同じくらい大きく見えます。

そして、南極点に到達すると、あらゆる方向から見ることができるので、視界全体に広がります。

南極に誰もいない場合、あなたの視覚的視野はさらに奇妙なものです。あなた自身です。それは、あなたから発せられる光が、あなたの元に戻るまで球の周りをずっと進むからです。

これは、3次元球体の生命に直接引き継がれます。3次元球面上のすべてのポイントには反対のポイントがあり、そこにオブジェクトがある場合は、まるで空のように背景全体として表示されます。そこに何もない場合は、代わりに自分の背景を背景として使用します。まるで私たちの外観が風船に重ねられ、裏返されて膨らんで地平線全体になったように見えます。

3次元球面は球体形状の基本モデルですが、そのような空間だけではありません。ユークリッド空間からチャンクを切り取って接着することでさまざまな平坦空間を構築したように、3次元球面の適切なチャンクを接着することで球面空間を構築できます。これらの接着された形状のそれぞれは、トーラスと同様に鏡のような効果を持ちますが、これらの球状の形状では、通過できる部屋の数は限られています。

私たちの宇宙は球状か?

私たちの中で最も自己陶酔的であっても、通常は自分たちを夜空全体の背景とは見なしません。しかし、平坦トーラスと同様に、現象が見られないからといって、それが存在しないわけではありません。球状の宇宙の円周は、観測可能な宇宙のサイズよりも大きくなる可能性があり、背景が遠すぎて見えなくなります。

しかし、トーラスとは異なり、球体の宇宙は純粋に局所的な測定によって検出できます。球体の形状は、大域的トポロジだけでなく、きめの細かい形状でも、無限ユークリッド空間とは異なります。例えば、球面形状の直線は大円であるため、三角形はユークリッドのものよりも膨らみ、角度は合計で180度以上になります。

実際、宇宙の三角形を測定することは、宇宙学者が宇宙が曲がっているかどうかをテストする主要な方法です。宇宙マイクロ波背景の各ホットスポットまたはコールドスポットについて、その直径と地球からの距離が既知であり、三角形の3辺を形成しています。スポットが夜空に収まる角度、つまり三角形の3つの角度の1つを測定できます。次に、辺の長さと角度の測度の組み合わせが、平面、球面、または双曲面の形状(三角形の角度が合計で180度未満になる)に適しているかどうかを確認できます。

そのようなテストのほとんどは、他の曲率測定とともに、宇宙が平坦であるか、平坦に非常に近いことを示唆しています。しかし、ある研究チームは最近、プランク宇宙望遠鏡の2018年リリースポイントから特定のデータを球体の宇宙ではない、と主張しました。しかし、他の研究者は、この証拠が統計的なまぐれである可能性が最も高いと反論しています。

双曲幾何学

それ自体で湾曲する球体とは異なり、双曲幾何学は外側に開きます。フロッピーハット、サンゴ礁、サドルの形状です。双曲幾何学の基本モデルは、平らなユークリッド空間のように無限に広がります。しかし、双曲幾何学は、平面幾何学よりもはるかに速く外側に拡大するため、幾何学を歪めない限り、通常のユークリッド空間内に2次元双曲平面を収める方法はありません。ここに、例えば、ポアンカレ円盤として知られる双曲面の歪んだビューがあります。

私たちの視点からは、境界円の近くの三角形は中心の近くの三角形よりもはるかに小さく見えますが、双曲幾何学の観点からは、すべての三角形は同じサイズです。実際に三角形を同じサイズにしようとすると、——ディスクに伸縮性のある素材を使用し、各三角形を順番に膨らませて、中心から外側に向かって作業することにより——ディスクはフロッピーの帽子に似始め、外側に向かって進むにつれてますます曲がります。境界に近づくと、この曲がりは制御不能になります。

双曲幾何学の観点からは、そこに到達するために無限に多くの三角形を横断する必要があるため、境界円は任意の内部点から無限に離れています。従って、双曲平面は、ユークリッド平面のように、すべての方向に無限に伸びています。しかし、局部形状の観点から見ると、双曲面での生命は私たちが慣れ親しんでいるものとは大きく異なります。

通常のユークリッド幾何学では、円の円周はその半径に直接比例しますが、双曲幾何学では、円周は半径と比較して指数関数的に大きくなります。双曲円盤の境界付近の三角形の質量に指数関数的なパイルアップがあることが分かります。

この機能のため、数学者は双曲空間で迷子になりやすいと言いたいです。友人が通常のユークリッド空間であなたから離れると、視覚円がそれほど速く成長しないため、小さく見えますが、ゆっくりと見え始めます。しかし、双曲空間では、視覚円が指数関数的に成長しているため、友人は指数関数的に小さな斑点にすぐに縮小するように見えます。友人のルートを慎重に追跡していないと、後で友だちへの道を見つけることはほとんど不可能です。

また、双曲幾何学では、三角形の角度の合計は180度未満です。例えば、ポアンカレ円盤のタイルの三角形の合計角度は165度です。

これらの三角形の辺は真っ直ぐに見えませんが、それは歪んだレンズを通して双曲線形状を見ているためです。ポアンカレ円盤の住民にとって、これらの曲線は直線です。なぜなら、ポイントAからポイントBに到達する最も簡単な方法は、中心に向かってショートカットをとることだからです。

ポアンカレ円盤に3次元の類似物を作成する自然な方法があります。3次元のボールを作成し、ポアンカレ円盤の三角形のように境界球に近づくにつれて小さくなる3次元形状で塗りつぶします。また、平面および球形のジオメトリと同様に、3次元双曲ボールの適切な部分を切り取り、その面を接着することにより、他の3次元双曲空間一式を作成できます。

私たちの宇宙は双曲面か?

狭い三角形と指数関数的に成長する円を備えた双曲幾何学は、周囲の空間の幾何学に収まるようには感じられません。そして確かに、すでに見たように、これまでのところほとんどの宇宙論的測定は平坦な宇宙を好むようです。

しかし、球面または双曲面の世界に住んでいる可能性を排除することはできません。これらの世界の両方の小さな断片がほぼ平らに見えるからです。例えば、球面形状の小さな三角形の合計角度は180度をわずかに超え、双曲面形状の小さな三角形の合計角度は180度をわずかに超えます。

そんなわけで、初期の人々は地球は平らだと思っていました。観測可能なスケールでは、地球の曲率は非常に小さいため検出できませんでした。球形または双曲面形状が大きいほど、その各小片は平坦になります。従って、私たちの宇宙が非常に大きな球形または双曲形状であるなら、観察できる部分は非常に平らであるため、その曲率はまだ発明していない超高精度の機器でしか検出できません。

Hacker News