5/21/2017

ファインマンによるフェルマーの最終定理の証明

フェルマーの最終定理をファインマン流に説明

リチャード・ファインマンはおそらく20世紀で最も才能のある物理学者の一人だ。彼は複雑な概念を解体し、第一原理から問題にアプローチすることを可能にする数学的で物理的な直感を持つことで知られていた。一見したところ訂正不可能な積分を解決するために独自の手法を編み出したMITの学生時代、シュレーディンガーの方程式を独自に導き出したプリンストンの大学院生時代からファインマンの天才を示す数え切れないほどの逸話がある。Schweberの本"QED and the Men who made it"の中のシュレーディンガー方程式のファインマンの導出に関する読み、フェルマーの最終定理についてファインマンが書いた日付のない2ページの原稿に言及することになった。原稿は本には載っていないが、Schweberはファインマンのアプローチについて軽く説明している。私がここで詳しく説明する。

フェルマーは$n$が2より大きな正の整数の場合、方程式 $x^n+y^n=z^n$ は整数の非自明の解、すなわち3つの$x$、$y$、$z$の全てがゼロではない解は存在しないと17世紀に主張した。このステートメントは広く"フェルマーの最終定理 (FLT)"として知られており、公式は"フェルマーの方程式"と呼ばれている。

3世紀半以上の間に、この困難な問題は数多くの数学者の注目を集めた。とりわけ、L.オイラー、ルジャンドル、P.G.L.ディリクレ、E.E.クンマー、より最近ではD.R.ヒース・ブラウン、G.フレイ、そしてA.ワイルズがこの問題を最終的に解決した

Schweberは原稿の日付について言及していないが、ファインマンが1988年に死去し、アンドリュー・ワイルズが1995年に定理の証明を公表して以来、我々はファインマンがそれを書いた時にはFLTがまだ数学で最も有名な未解決問題の一つであったことを知っている。興味深いのは、問題に対するファインマンのアプローチが純粋に確率論的なものだったということである。彼は、数$N$が完全な$n^{th}$乗である確率を計算することから始める。これを行うには、$\sqrt[n]{N}$と$\sqrt[n]{N+1}$の間の距離を計算する必要がある。ここで$N$は大きな整数である(あとで説明する)。

\[ d = \sqrt[n]{N+1}-\sqrt[n]{N}=\sqrt[n]{N}\sqrt[n]{1+\frac{1}{N}}-\sqrt[n]{N}=\sqrt[n]{N}\left(\sqrt[n]{1+\frac{1}{N}}-1\right) \]

もし、$(-1 < x < 1)$で、べき級数展開を使うと$(1+x)^k = 1+kx+\frac{k(k-1)}{2}x^2+...$

\[ d=\sqrt[n]{N}\left(\left(1+\frac{1}{n}\frac{1}{N}+\frac{\frac{1}{n}(\frac{1}{n}-1)}{2}\frac{1}{N^2}+...\right)-1\right) \]

$k=\frac{1}{n}$と$x=\frac{1}{N}$で、$\frac{1}{N}<1$でべき級数展開を使うことができる点に注意する。制限を $N\rightarrow\infty$にし、展開の大きな条件のみに限定すると、次のようになる

\[ d \approx \frac{\sqrt[n]{N}}{nN} \]

$d \approx \frac{\sqrt[n]{N}}{nN}=\underbrace{\frac{1}{n\sqrt[n]{N}...\sqrt[n]{N}}}_{n-1 times}<1$、$n>1,\sqrt[n]{N}>1$そして、$n\sqrt[n]{N}...\sqrt[n]{N}>1$。

ファインマンは「$N$が$n^{th}$の完全累乗が$\frac{\sqrt[n]{N}}{nN}$である可能性」と書いている。彼はこの結論にどのように至ったのか説明しなかったので、ここで私は彼の思考過程がどのようなものだったかを考えみる。もし、$N$が完全累乗$N=z^n$であれば、$[\sqrt[n]{N},\sqrt[n]{N+1}]$の間隔に、少なくとも一つは整数が存在する($\sqrt[n]{N}=z$)。全ての連続する整数の間の距離が1であるためには、$[\sqrt[n]{N},\sqrt[n]{N+1}]$ が整数を含む確率は、2つの整数間の間隔の長さと、$\sqrt[n]{N}$と$\sqrt[n]{N+1}:\frac{d}{1}$ との間の距離の比率である。これを視覚化するための良い方法は、全ての連続する整数間の距離が1メートルの線を想像することだ。誰かが線の上に長さdメートルの定規を落とすと、定規が整数に当たる確率は$\frac{d \textrm{ meter}}{1 \textrm{ meter}}=d\approx \frac{\sqrt[n]{N}}{nN}$となる。

$N=x^n+y^n$というFLTについて言えば、$x^n+y^n$が完全$n^{th}$乗である確率は$\frac{\sqrt[n]{x^n+y^n}}{n(x^n+y^n)}$である。もちろん、この確率は特定の$x$と$y$に対するものである。したがって、任意の$x^n+y^n$の合計の確率を計算するには、$x>\mathsf{x}_0$と$y>\mathsf{y}_0$を合計する必要がある。ファインマンは式を積算するのではなく、積分することを選択している。私が積分を選択したのは、通常は総和より扱いが簡単であり、整数を合計して$x$と$y$を全て積分しても、最終結果に影響が出ないためである。

ファインマンは$\mathsf{x}_0=\mathsf{y}_0$を選択した。彼は次の式に行き着いた:

\[ \int_{\mathsf{x}_0}^\infty\int_{\mathsf{x}_0}^\infty\frac{1}{n}(x^n+y^n)^{-1+\frac{1}{n}}dx\,dy=\frac{1}{n\mathsf{x}_0^{n-3}}c_n \] \[ c_n=\int_{0}^\infty\int_{0}^\infty(u^n+v^n)^{-1+\frac{1}{n}}du\,dv \]

$c_n$を得るため、ファインマンは変数の2つの変更を行う。最初は、$\theta=\frac{x-\mathsf{x}_0}{\mathsf{x}_0}\,\,\phi=\frac{y-\mathsf{x}_0}{\mathsf{x}_0}$ である。

変数の最初の変更を行うと:

\[ \int_{\theta(\mathsf{x}_0)}^\infty\int_{\phi(\mathsf{x}_0)}^\infty f(x(\theta,\phi),y(\theta,\phi))\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(\theta,\phi)}\right|d\theta\,d\phi = \] \[ =\int_0^\infty\int_0^\infty\frac{1}{n}\mathsf{x}_0^{1-n}((\theta+1)^n+(\phi+1)^n)^{-1+\frac{1}{n}}\mathsf{x}_0^2 d\theta\,d\phi = \] \[ =\frac{1}{n\mathsf{x}_0^{n-3}} \int_0^\infty\int_0^\infty ((\theta+1)^n+(\phi+1)^n)^{-1+\frac{1}{n}}d\theta\,d\phi \]

$\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(\theta,\phi)}\right|=\frac{\partial x}{\partial\theta}\frac{\partial y}{\partial\phi}-\frac{\partial x}{\partial\phi}\frac{\partial y}{\partial\theta}=\mathsf{x}_0^2$は、ヤコビアン、そして$\theta(\mathsf{x}_0)=\frac{\mathsf{x}_0-\mathsf{x}_0}{\mathsf{x}_0}=0\,\,\phi(\mathsf{x}_0)\frac{\mathsf{x}_0-\mathsf{x}_0}{\mathsf{x}_0}=0$である。

最後に変数$u=\theta+1$と$v=\phi+1$の2番目の変更を行う

\[ \frac{1}{n\mathsf{x}_0^{n-3}}\int_0^\infty\int_0^\infty((\theta+1)^n+(\phi+1)^n)^{-1+\frac{1}{n}}d\theta\,d\phi = \] \[ =\frac{1}{n\mathsf{x}_0^{n-3}}\int_1^\infty\int_1^\infty(u^n+v^n)^{-1+\frac{1}{n}}du\,dv \]

私はファインマンが1であり0ではないことから導かれた積分$(c_n)$の下限に実際にタイプミスがあると思う。$u(0)=0+1=1$と$v(0)=0+1=1$に注意してほしい。

最後に、$z^n=x^n+y^n$が整数である確率についての式を得て、それをいくつかの$n$に対して計算することができる。$\mathsf{x}_0=2$を設定すると、$z^n=x^n+y^n(\frac{1}{n\mathsf{x}_0^{n-3}}\int_1^\infty\int_1^\infty(u^n+v^n)^{-1+\frac{1}{n}}du\,dv)$に対する整数解が存在する確率はnの増加に伴って減少することが分かる。

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ファインマンはまた、19世紀初めにファルマーの方程式が$n\leq 100$の解を持たないことを証明したソフィ・ジェルマンの結果を知っていた。ファインマンは、$n$が増加するにつれて解を見つけるのがますます困難になるので、$n\leq 100$がないという知識を使ってフェルマーの方程式の解を見つける確率を計算しようとした。

十分に大きな$n$に対して(この限界を導き出すことを読者に頼む)、

\[ c_n\approx\frac{1}{n} \]

したがって、特定$n$に対する解が見つかる確率は$\frac{1}{n^2\mathsf{x}_0^{n-3}}$であり、その結果、任意の$n>\mathsf{n}_0=100$に対する解を見つかる確率は$\int_{100}^\infty\frac{1}{n^2\mathsf{x}_0^{n-3}}dn$である。$\mathsf{x}_0=2$の積分を計算すると、

\[ \int_{100}^\infty\frac{1}{n^2 2^{n-3}}dn\approx8.85\times10^{-34} \]

これは確率が$10^{-31}$%未満であることを意味する。ファインマンは次のように結論付けた。「私に言わせれば、フェルマーの定理は真実である。」もちろんこれは数学的見地からはあまり正規なものではなく、ワイルズのFLTの実際の110ページ長の証明とは全く異なるが、ファインマンの科学的アプローチと天才であることの本当に良い例である。ファインマンが言っているように:

理論物理学の主な仕事は、できるだけ早く間違っていることを証明することだ。

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